La carta di Smith

[IW5AFV]

Seguendo il filone del NanoVNA e delle sue applicazioni, provo a spiegare cos’è e a che cosa serve la “Carta di Smith” . Ringrazio Andrea IK5NXD per la collaborazione.

smithchart.pdf

La carta di Smith è la rappresentazione grafica di alcune formule matematiche che servono principalmente per calcolare le trasformazioni di impedenza nei circuiti a radiofrequenza a costanti concentrate (costituiti da componenti discreti R, L, C) e a costanti distribuite ( che includono anche le linee di trasmissione).
Queste formule servono ad esempio a calcolare la rete di adattamento di un amplificatore a radiofrequenza o l’impedenza di una antenna vista da un trasmettitore quando questa antenna è collegata attraverso un cavo coassiale di lunghezza nota.
Siccome queste formule sono un po’ostiche, l’ing. Smith per semplificare i calcoli inventò nel 1939 la sua famosa carta, che viene tuttora utilizzata (nonostante oggi siano disponibili programmi che fanno automaticamente tutti i calcoli).
La carta è in pratica una rappresentazione di impedenze Z e di ammettenze Y.
Per chiarire questi termini riprendo quanto ho scritto in un precedente post per spiegare i parametri S:
L’impedenza di un circuito (Z) è composta da una resistenza (R) ed una reattanza (X) in serie. La reattanza è la “resistenza” che il componente reattivo (induttanza o condensatore) presenta ad una data frequenza

XL = 2πfL XC = 1/2πfC

L’impedenza quindi può essere induttiva: Z = R +jXL o capacitiva Z = R - jXC. . (E’ un numero complesso, la R rappresenta la parte reale, la X la parte immaginaria, la j indica la parte immaginaria. Non allarghiamo la discussione ai numeri complessi, notiamo solo che la reattanza induttiva ha il segno positivo, mentre quella capacitiva lo ha negativo)
L’ammettenza Y è l’inverso dell’impedenza Y = 1/Z (l’impedenza indica quanto un circuito ostacola il passaggio di una corrente, l’ammettenza invece quanto lo favorisce) e al contrario dell’impedenza che caratterizza un circuito serie, viene utilizzata per caratterizzare un circuito in parallelo.
L’ammettenza di un circuito è composta da una conduttanza G = 1/R e da una suscettanza B =1/X in parallelo.
L’ammettenza può essere induttiva: Y= G - jBL o capacitiva Y = G + jBC
(E’ ancora un numero complesso, la G rappresenta la parte reale, la B la parte immaginaria, la j indica la parte immaginaria. Notiamo solo che la reattanza induttiva ha il segno negativo, mentre quella capacitiva lo ha positivo, contrariamente a quanto visto per le impedenze).

Dopo questa spiegazione un po’ indigesta vediamo di chiarire meglio la cosa con qualche esempio.
Innanzitutto consiglio di stampare il pdf della carta di Smith in formato tutta pagina per leggerla meglio.
Vediamo che la carta è formata da circonferenze e sezioni di circonferenze racchiuse in un cerchio: queste sono le coordinate della carta, che sono circolari ( quelle lineari con gli assi cartesiani x ed y sono più comuni, ma il concetto è lo stesso, sempre coordinate sono).

Le circonferenze il cui centro giace sulla linea orizzontale rappresentano la parte reale del circuito: la resistenza o la conduttanza. Il loro valore varia da 0 (il cerchio massimo) a infinito (in pratica il cerchio minimo di valore 50). Il valore centrale è 1.
Le parti di circonferenza sopra la linea orizzontale rappresentano la componente reattiva del circuito di segno positivo: reattanza induttiva o suscettanza capacitiva.
Le parti di circonferenza sotto la linea orizzontale rappresentano la parte reattiva di segno negativo: reattanza capacitiva o suscettanza induttiva.
Anche le componenti reattive variano da 0 a infinito.
Il punto di incontro tra una circonferenza della parte reale e di una della parte reattiva rappresenta la impedenza o ammettenza di un circuito.
Ad esempio il punto di incontro della circonferenza reale 0.1 con la circonferenza reattiva +0.05 rappresenta un circuito composto da una resistenza da 0.1Ω con in serie una reattanza induttiva di 0.05Ω, oppure una conduttanza di 0.1 S (resistenza da 10Ω) in parallelo con una suscettanza capacitiva da 0.05 S (reattanza da 20Ω). S, Siemens, è il simbolo inverso del Ω. In passato si chiamava mho, appunto il contrario do ohm.
Bisogna subito chiarire che questi valori sono grandezze NORMALIZZATE, cioè sono divise per la impedenza del generatore.
La normalizzazione serve per poter usare la carta qualunque sia la impedenza del generatore.
La normalizzazione si ottiene semplicemente dividendo le componenti dell’impedenza, per l’impedenza caratteristica Z0.
Tutti i numeri all’interno del cerchio sono grandezze NORMALIZZATE, quindi nel proseguo di questa descrizione parlerò solo di grandezze normalizzate senza peraltro doverlo ripetere ogni volta.
Ad esempio, se stiamo lavorando per adattare l’ingresso di un lineare HF al nostro generatore a 50 Ω, dobbiamo dividere per 50 l’impedenza del circuito di ingresso. Se il nostro generatore fosse a 75 Ω dovrei dividere l’impedenza per 75.
Nell’esempio precedente quindi, se il generatore è a 50 Ω la resistenza da 0.1 Ω corrisponde ad una resistenza reale di 5 Ω, e la reattanza di 0.05 Ω a 2.5 Ω.
Facciamo un altro esempio: il mio amplificatore ha una impedenza di ingresso a 14.2MHz di 135Ω +j90Ω. (In pratica è composta da una resistenza da 135Ω ed una induttanza da 1µH in serie). Il generatore è a 50Ω.
Dove posiziono questa impedenza sulla carta di Smith?
Semplice, all’intersezione tra la circonferenza reale 2.7 (135/50) e la circonferenza reattiva 1.8 (90/50).
O più semplicemente si dice: nel punto 2.7 + j1.8. (P1 sulla figura seguente)
Se invece il circuito avesse una impedenza di 30Ω -j45Ω ? Nel punto 0.6 – j0.9 (P2 nella figura seguente).

Ora voglio provare a portare a 50Ω (= adattare a 50Ω) il punto di impedenza che ho fissato sulla carta. Come si fa? Il meccanismo da utilizzare è questo: mi muovo lungo le circonferenze resistive aggiungendo capacità e/o induttanze in serie e/o parallelo fino a raggiungere il centro della carta, il punto 1.0 che è appunto la resistenza di 50 Ω del generatore.
Muoversi lungo le circonferenze resistive significa modificare solo la componente reattiva della impedenza, lasciando invariata la componente resistiva. Potrei anche modificare la componente resistiva aggiungendo resistenze in serie e/o in parallelo, ma non mi conviene perché le resistenze dissipano potenza.

Partiamo ad esempio dal punto P2, che come indica il segno è una impedenza capacitiva. Se aggiungo una induttanza in serie con una reattanza di j0.9 annullo la componente reattiva. Rimane la componente resistiva di 0.6, che equivale ad una resistenza di 30Ω. Ho fatto un passo avanti verso l’adattamento, ma non basta: ora come faccio a raggiungere i 50Ω del generatore? Potrei aggiungere in serie una resistenza da 20Ω, ma perdo potenza. E se usassi un trasformatore? L’idea è buona ma dovrei fare un trasformatore con un rapporto di impedenza di 50/30 = 1.67 (rapporto spire 1.29), e i trasformatori a radiofrequenza sono delle brutte bestie…
Ma ci sono altri trucchi da giocare. La cosa essenziale è riuscire ad intercettare con i nostri spostamenti la circonferenza con componente resistiva di valore 1, che come abbiamo visto è quella che corrisponde all’impedenza o all’ammettenza caratteristica del generatore. Poi si azzera la parte reattiva ed il gioco è fatto. Vediamo come si può fare.
Parto di nuovo dal punto P2. Aggiungo in serie al mio circuito una bobina (Ls) con reattanza da 0.40Ω e quindi arrivo al punto di impedenza 0.6 -j0.5 Ω
Poi passo dalle impedenze alle ammettenze. Niente paura, sulla carta di Smith è una cosa semplice, basta spostarsi di 180° sulla carta, mantenendo lo stesso raggio. Raggiungo con un balzo il punto di ammettenza normalizzato 1+ j0.78. Ora posso annullare la suscettanza capacitiva di 0.78 con una induttanza (Lp) che ha la stessa suscettanza ma di segno opposto. Naturalmente questa induttanza è in parallelo, perché sono nel dominio delle ammettenze.
Il gioco è fatto: ho adattato il mio circuito in due mosse: scacco matto al ROS con due bobine!
Nella figura seguente è mostrata la soluzione e la rete di adattamento.

carta_Smith_costanti concentrate.pdf

Ora si può calcolare il valore della induttanza serie Ls e di quella in parallelo Lp. La frequenza f è 14.2MHz.
0.40 = 2πf Ls/50; quindi Ls = (0.4 x 50)/2πf = 224nH
0.78 = 50/2πfLp; quindi Lp = 50/(0.78 x 2πf) = 719nH
Bene, abbiamo visto come si può adattare un circuito a costanti concentrate.
Però i radioamatori spesso si trovano ad affrontare il problema di adattamento di una antenna, collegata all’apparato attraverso la linea di alimentazione. Qualche volta anche a progettare circuiti in VHF o UHF che includono anche tratti di linee di trasmissione. In questi casi come ci può aiutare la carta di Smith?
Continua nella prossima puntata….. se interessa...

Paolo IW5AFV

[iz0mfi]

Grazie Paolo, semplice e chiaro mi hai fatto venire la "pelle d'oca altro che se interessa il seguito

[iw1cjd]

grazie Paolo
… certo che interessa…
vai avanti con queste spiegazioni… il "contadino " che è in me apprezza!!!!! (mi raccomando, senza offesa al contadino... per carità!, è solo un modo di dire!)
Elvezio
iw1cjd

[IZ5TEK]

Ottima sintesi sull'uso della carta di Smith.
Strumento molto utile e di facile uso per il dimensionamento delle reti di adattamento di ingresso, di uscita e interstadio degli amplificatori a radio frequenza.
Ma la carta di Smith nacque principalmente per l'analisi di reti elettriche contenenti le linee di trasmissione per cui chiedo a Paolo di illustrare anche questa parte, fondamentale per completare la trattazione che ha iniziato.
Complimenti Paolo!